Можно ли молиться о том, чтобы Бог отомстил врагам, как это делал Давид? Не будет ли это лицемерием, когда мы за свой грех просим прощение, а чужой просим наказать?

Мир Вам. Спасибо за вопрос.

Мой ответ, возможно, будет для Вас неожиданным. Я бы сказал так, смотря, в каком контексте. Ваш вопрос подразумевает то, что Давид был неправ, когда писал, например, следующее:

19 О, если бы Ты, Боже, поразил нечестивого! Удалитесь от меня, кровожадные!
20 Они говорят против Тебя нечестиво; суетное замышляют враги Твои.
21 Мне ли не возненавидеть ненавидящих Тебя, Господи, и не возгнушаться восстающими на Тебя?
22 Полною ненавистью ненавижу их: враги они мне.

Псалом 138

В этих строках царь просит поразить нечестивого, говорит о своей ненависти к врагам Бога. Почему он это делает? Как мне видится, он, буквально, пропитан величием Бога. В предыдущих стихах он поклонялся Богу, он воспевал всеведение Бога, Его вездесущность, всемогущество. Всё это привело его к тому, что он соприкоснулся со святостью Бога. Он соединился, пропитался, если хотите, Божьей святостью. И вот именно это и привело Давида к тем словам, что он написал. Это не слова мести, как мы её обычно себе представляем. Это слова человека, который увидел мир через призму святости Бога.
Нечто подобное мы находим и в книге Откровение:

9 И когда Он снял пятую печать, я увидел под жертвенником души убиенных за слово Божие и за свидетельство, которое они имели.
10 И возопили они громким голосом, говоря: доколе, Владыка Святый и Истинный, не судишь и не мстишь живущим на земле за кровь нашу?
11 И даны были каждому из них одежды белые, и сказано им, чтобы они успокоились еще на малое время, пока и сотрудники их и братья их, которые будут убиты, как и они, дополнят число.

Откровение 6 глава

Обратите внимание, о мести просят не люди, которые на земле, а души тех, кто был убит за проповедь Слова. Им даются белые одежды, их никак не осуждают за такую молитву. Почему? Как мне видится, это происходит по той причине, что они смотрят на всё происходящее, скажем так, глазами Бога. Они знают, что Господь явит Себя в последние времена. Они знают, что это прославит Господа, а потому они и ждут этого часа. Не часа мести врагам, как это себе представляет гордый человек, а часа прославления Христа.

Я привёл два примера того, как молитва о мести, жажда поражения врагов может нести в себе не какие-то эгоистичные интересы грешного человека, а быть следствием соединения с волей Бога.
Именно поэтому я и сказал, смотря в каком контексте. Обычно мы желаем мести далеко не по причине соединения с Богом, не по причине того, что поражены Его святостью, и не по причине желания славы Господа. У нас всё прозаичней. Кто-то наступил на наш больной мозоль, по имени Я, и мы желаем «справедливого» возмездия, или же – мести. В этом случае, конечно же, мы не должны искать, просить о мести, мы должны смирять своё Я, искать и просить им прощения, милости и благодати. Ибо именно к этому нас призвал Господь.

43 Вы слышали, что сказано: люби ближнего твоего и ненавидь врага твоего.
44 А Я говорю вам: любите врагов ваших, благословляйте проклинающих вас, благотворите ненавидящим вас и молитесь за обижающих вас и гонящих вас…

Матфея 5 глава

Заметьте, и в том, и в другом случае, мы акцентированы не на себе, а на Господе. И в том, и в другом случае мы впечатлены Богом, соединяемся с Ним, и смотрим на всё происходящее через призму Его славы, Его плана, Его святости, Его величия.

Благословений.